ফ্ৰিচ্ছ-ৱঘ-লৱেল উপপাদ্য

ইকনমেট্ৰিক্সত ফ্ৰিচ্ছ-ৱঘ-লৱেল উপপাদ্য অৰ্থনীতিবিদ ৰাগনাৰ ফ্ৰিচ্ছ, ফ্ৰেডেৰিক ৱঘ আৰু মাইকেল লৱেলে আগবঢ়োৱা আৰু প্ৰমাণিত কৰা এটি অতিকৈ গুৰুত্বপূৰ্ণ উপপাদ্য। উপপাদ্যটি প্ৰথমে ফ্ৰিচ্ছ আৰু ৱঘে ১৯৩৩ত প্ৰমাণ কৰিছিল আৰু ১৯৬৩ত লৱেলে সাধাৰণ ৰূপত প্ৰমাণ কৰিছিল। "অৰ্থনৈতিক প্ৰক্ৰিয়াৰ বিশ্লেষণৰ বাবে গতিশীল আৰ্হিৰ বিকাশ আৰু প্ৰয়োগৰ বাবে" ফ্ৰিচ্ছক ১৯৬৯ত অৰ্থনীতিৰ প্ৰথম ন'বেল বঁটাৰে সন্মানিত কৰা হৈছিল।

উপপাদ্যটিৰ মতে, যিকোনো বহু-চকলযুক্ত আৰ্হিত, কোনো সমাশ্ৰয়কৰ গুণাংক এটি এনে অন্য দ্বি-চলকযুক্ত আৰ্হিত লাভ কৰা সমাশ্ৰয়ণ গুণাংকৰ সমকক্ষ য'ত ফলাফলৰ অৱশিষ্টক সমাশ্ৰয়িত কৰা হয় সমাশ্ৰয়কৰ অৱশিষ্ট উপাদানেৰে, এক বিশেষ ধৰণেৰে।

উপপাদ্যৰ উদ্ধৃতি

এটি বহুল সমাশ্ৰয়ণ গণ্য কৰক য'ত $k$ সমাশ্ৰয়ক আছে:

${\hat {y}}={\hat {\beta }}_{1}x_{1}+{\hat {\beta }}_{2}x_{2}+....+{\hat {\beta }}_{k}x_{k}+\epsilon$

উপপাদ্যটিৰ মতে, ওপৰৰ সমীকৰণৰ বাবে, প্ৰত্যেক ${\hat {\beta }}_{j}={\hat {\beta }}_{j}^{*}$ আৰু $\epsilon =\epsilon ^{*}$ এনেদৰে:

$\epsilon ^{y}={\hat {\beta }}_{j}^{*}\epsilon ^{x_{j}}+\epsilon ^{*}$ য'ত,

$\epsilon ^{y}=y-\sum _{k\neq j}{\hat {\beta }}_{k}^{y}x_{k}$

$\epsilon ^{x_{j}}={x_{j}}-\sum _{k\neq j}{\hat {\beta }}_{k}^{x_{j}}x_{k}$

অন্য ৰূপত, উপপাদ্যটিক এনেদৰেও উদ্ধৃত কৰিব পৰা যায়:

যদি আমাৰ সমাশ্ৰয়ণ এনেধৰণৰ:

$Y=X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+u$

য'ত $X_{1}$ আৰু $X_{2}$ হ'ল ক্ৰমে $n\times k_{1}$ আৰু $n\times k_{2}$ মৌলকক্ষ আৰু য'ত $\beta _{1}$ আৰু $\beta _{2}$ অনুৰূপ, তেন্তে $\beta _{2}$ৰ প্ৰাককলন তলৰ সমাশ্ৰয়ণত লাভ কৰা প্ৰাককলনৰ সমকক্ষ:

$M_{X_{1}}Y=M_{X_{1}}X_{2}\beta _{2}+M_{X_{1}}u,$

য'ত $M_{X_{1}}$এ অভিক্ষেপ কৰে অভিক্ষেপণ মৌলকক্ষ $X_{1}(X_{1}^{\mathsf {T}}X_{1})^{-1}X_{1}^{\mathsf {T}}$ৰ প্ৰতিবিম্বৰ লাম্বিক পূৰকত। ইয়াৰ সমতুল্য, যে M_X1এ অভিক্ষেপণ কৰে X₁ৰ স্তম্ভ-সমষ্টিৰ লাম্বিক পূৰকত। বিশেষকৈ:

$M_{X_{1}}=I-X_{1}(X_{1}^{\mathsf {T}}X_{1})^{-1}X_{1}^{\mathsf {T}},$

এই বিশেষ লাম্বিক অভিক্ষেপণ মৌলকক্ষক বিনাশকাৰী মৌলকক্ষ বোলা হয়।

সদিশ ${\textstyle M_{X_{1}}Y}$ হ'ল ${\textstyle Y}$ক ${\textstyle X_{1}}$ৰ স্তম্ভসৱেৰে সমাশ্ৰয়িত কৰি লাভ কৰা অৱশিষ্টৰ সদিশ।