স্থানাংক জ্যামিতি

স্থানাংক জ্যামিতি হ'ল জ্যামিতিৰ এটা শাখা, য'ত সমতলত অৱস্থান কৰা এটা বিন্দুৰ স্থানক এযোৰ সংখ্যাৰ সহায়ত উপস্থাপন কৰা হয়। এই সংখ্যাযোৰক স্থানাংক বুলি কোৱা হয়।^[1] সমতলত এটা বিন্দুৰ অৱস্থান জানিবলৈ এযোৰ অক্ষ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। y-অক্ষৰ পৰা এটা বিন্দুৰ দূৰত্বক x-স্থানাংক বা ভুজ বুলি কোৱা হয়। x-অক্ষৰ পৰা এটা বিন্দুৰ দূৰত্বক y-স্থানাংক বা কোটি বুলি কোৱা হয়। x-অক্ষৰ ওপৰত থকা এটা বিন্দুৰ স্থানাংকৰ আৰ্হি (x, 0) আৰু y-অক্ষৰ ওপৰত থকা এটা বিন্দুৰ স্থানাংকৰ আৰ্হি (0, y)।

স্থানাংক জ্যামিতিৰ উপাদান সমূহৰ ধাৰণা

স্থানাংক জ্যামিতিৰ ক্ষেত্ৰখনত সাধাৰণতে ব্যৱহাৰ হৈ থকা উপাদান সমূহৰ ভিতৰত,

x-অক্ষ আৰু y-অক্ষই পৰস্পৰক কটা-কটি কৰা বিন্দুৰ স্থানাংক (0, 0)
x-অক্ষৰ সোঁ-পক্ষৰ মান ধণাত্মক আৰু x-অক্ষৰ বাওঁ-পক্ষৰ মান ঋণাত্মক।
একেদৰে y-অক্ষৰ ওপৰলৈ ধনাত্মক মান পোৱা যায় আৰু y-অক্ষৰ তললৈ ঋণাত্মক মান সমূহ আহে।
x-অক্ষ আৰু y-অক্ষই পৰস্পৰক চেদ কৰি মুঠ চাৰিটা চোক সৃষ্টি কৰে এই চোক সমূহৰ বিন্দু সমূহৰ মান (+, +), (-, +), (-, -), (+, -)হয়।

বিন্দুৰ মাজত দূৰত্বক উপস্থাপন

পৰিসৰ

স্থানাংক জ্যামিতিৰ পৰিসৰ যথেষ্ট প্ৰভাৱশালী। বীজগণিত, পদাৰ্থবিজ্ঞান, মহাকাশ বিজ্ঞান, অভিযান্ত্ৰিক, নৌ বিদ্যা, ভূকম্প বিজ্ঞান কাল আদি ক্ষেত্ৰ সমূহত স্থানাংক জ্যামিতিৰ বহুল প্ৰয়োগ কৰা হয়। যদিহে আমি এযোৰ বিন্দুৰ স্থানাংক জানোঁ তেন্তে স্থানাংক জ্যামিতিক আমি বিভিন্ন দিশত ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰোঁ।

বিন্দু সমূহৰ মাজত দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰিব পৰা যায়।

সমতলত থকা দুটা বিন্দু (x1, y1) আৰু (x2, y2)ৰ মাজৰ দূৰত্বক তলৰ সূত্ৰৰ দ্বাৰা নিৰ্ণয় কৰা হয়।

d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},\!

আৰু ইয়ে হৈছে পাইথাগোৰাছৰ সূত্ৰ। স্থানাংক জ্যামিতিত ইয়াক 'দূৰত্ব সূত্ৰ' বুলি কোৱা হয়। ইয়াৰ দ্বাৰা এডাল ৰেখাই ভূমিৰ সৈতে উৎপন্ন কৰা কোণৰ মানো নিৰ্ণয় কৰা হয়। মূলবিন্দু (0,0)ৰ পৰা কোনো এটা বিন্দু (x, y)ৰ দূৰত্ব হ'ব-

d={\sqrt {(x)^{2}+(y)^{2}}},\!

কোনো ৰেখা খণ্ডৰ বাবে সমীকৰণ, মধ্যমান, নটি আদি নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।
কোনো এডাল ৰেখা উলম্ব নে সমান্তৰাল নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।
সমতলত বিন্দু সমূহে সৃষ্টি কৰা বহুভুজ সমূহৰ পৰিসীমা আৰু কালি নিৰ্ণয় কৰিব পৰা যায়।
কোনো এটা আকৃতিক প্ৰতিবিম্বিত কৰিবলৈ স্থানান্তৰিত তথা আৱৰ্তন কৰিবলৈ আৰু ৰূপান্তৰ কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি।
উপবৃত্ত, বক্ৰ, আৰু বৃত্তৰ সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰিবলৈ।^[2]

ইতিহাস

গ্ৰীক গণিতবিদ মেনেচমাচে কিছুমান গাণিতিক সমস্যা সমাধান আৰু তত্ত্বসমূহ প্ৰমাণৰ বাবে এটা বিশেষ পদ্ধতি ব্যবহাৰ কৰিছিল যিটো স্থানাংক জ্যামিতিৰ সৈতে বিশেষভাৱে সম্পৰ্কীয়। সেয়ে কেতিয়াবা কোনো কোনোৱে তেওঁকো বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি বা স্থানাংক জ্যামিতিৰ প্ৰৱৰ্তন কৰিছিল বুলি বিশ্বাস কৰে।^[3] সমতলত বিন্দুৰ অৱস্থান বৰ্ণনা কৰাৰ পদ্ধতিটি ফৰাছী গণিতবিদ ৰেনা ডেকাৰ্টচ (১৫৯৬ - ১৬৫০) আৰু পিয়েৰ ডি ফাৰ্মাট ৰ দ্বাৰা প্ৰস্তাৱিত হৈছিল।^[4]^[5] সেই হ'লেও ৰেনা ডেকাৰ্টচৰ হে বহু সময়ত অকলে নাম লোৱা হয়। ^[6]^[7] ডেকাৰ্টচৰ নাম অনুসৰি সেয়ে স্থানাংক জ্যামিতিক কাৰ্টেচিয়ান জ্যামিতি বুলি কোৱা হয়। ১১শতিকাত পাৰস্যৰ গণিতজ্ঞ ওমৰ খেয়ামে জ্যামিতি আৰু বিজগণিতৰ মাজত এক দৃঢ় সম্পৰ্ক উপস্থাপন কৰিছিল। তেওঁ জ্যামিতিক সমাধানৰ দ্বাৰা সাধাৰণ বৰ্গীয় সমীকৰণ নিৰ্ণয়ৰে সাংখ্যিক আৰু জ্যামিতিক বিজগণিতৰ মাজত থকা দূৰত্ব নোহোৱা কৰিছিল।^[8]^[9] অৱশ্যে ডেকাৰ্টচৰ দ্বাৰা হে প্ৰকৃত সিদ্ধান্ত এটাত উপনীত হোৱা হয়।^[8]

তথ্যসূত্ৰ

↑ https://www.toppr.com/guides/maths/coordinate-geometry/coordinate-geometry/
↑ https://www.mathopenref.com ›
↑ Boyer, Carl B. (1991). "The Age of Plato and Aristotle". A History of Mathematics (Second সম্পাদনা). John Wiley & Sons, Inc.. পৃষ্ঠা. 94–95. ISBN 0-471-54397-7. https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/94. "Menaechmus apparently derived these properties of the conic sections and others as well. Since this material has a strong resemblance to the use of coordinates, as illustrated above, it has sometimes been maintained that Menaechmus had analytic geometry. Such a judgment is warranted only in part, for certainly Menaechmus was unaware that any equation in two unknown quantities determines a curve. In fact, the general concept of an equation in unknown quantities was alien to Greek thought. It was shortcomings in algebraic notations that, more than anything else, operated against the Greek achievement of a full-fledged coordinate geometry."
↑ Stillwell, John (2004). "Analytic Geometry". Mathematics and its History (Second সম্পাদনা). Springer Science + Business Media Inc.. পৃষ্ঠা. 105. ISBN 0-387-95336-1. "the two founders of analytic geometry, Fermat and Descartes, were both strongly influenced by these developments."
↑ Boyer 2004, পৃষ্ঠা 74
↑ Cooke, Roger (1997). "The Calculus". The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. পৃষ্ঠা. 326. ISBN 0-471-18082-3. https://archive.org/details/historyofmathema0000cook/page/326. "The person who is popularly credited with being the discoverer of analytic geometry was the philosopher René Descartes (1596–1650), one of the most influential thinkers of the modern era."
↑ Boyer 2004, পৃষ্ঠা 82
↑ ^8.0 ^8.1 Boyer (1991). "The Arabic Hegemony". A History of Mathematics. পৃষ্ঠা. 241–242. "Omar Khayyam (ca. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the sixteenth century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved.""
↑ Glen M. Cooper (2003). "Omar Khayyam, the Mathematician", The Journal of the American Oriental Society 123.

[1] ttps://www.toppr.com/guides/maths/coordinate-geometry/coordinate-geometry/

[2] ttps://www.mathopenref.com ›

[3] Boyer, Carl B. (1991). "The Age of Plato and Aristotle". A History of Mathematics (Second সম্পাদনা). John Wiley & Sons, Inc.. পৃষ্ঠা. 94–95. ISBN 0-471-54397-7. https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/94. "Menaechmus apparently derived these properties of the conic sections and others as well. Since this material has a strong resemblance to the use of coordinates, as illustrated above, it has sometimes been maintained that Menaechmus had analytic geometry. Such a judgment is warranted only in part, for certainly Menaechmus was unaware that any equation in two unknown quantities determines a curve. In fact, the general concept of an equation in unknown quantities was alien to Greek thought. It was shortcomings in algebraic notations that, more than anything else, operated against the Greek achievement of a full-fledged coordinate geometry."

[4] Stillwell, John (2004). "Analytic Geometry". Mathematics and its History (Second সম্পাদনা). Springer Science + Business Media Inc.. পৃষ্ঠা. 105. ISBN 0-387-95336-1. "the two founders of analytic geometry, Fermat and Descartes, were both strongly influenced by these developments."

[5] Boyer 2004, পৃষ্ঠা 74

[6] Cooke, Roger (1997). "The Calculus". The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. পৃষ্ঠা. 326. ISBN 0-471-18082-3. https://archive.org/details/historyofmathema0000cook/page/326. "The person who is popularly credited with being the discoverer of analytic geometry was the philosopher René Descartes (1596–1650), one of the most influential thinkers of the modern era."

[7] Boyer 2004, পৃষ্ঠা 82

[Boyer_Omar_Khayyam_positive_roots-8] 8.0 ^8.1 Boyer (1991). "The Arabic Hegemony". A History of Mathematics. পৃষ্ঠা. 241–242. "Omar Khayyam (ca. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the sixteenth century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved.""

[9] Glen M. Cooper (2003). "Omar Khayyam, the Mathematician", The Journal of the American Oriental Society 123.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]