ৱিকিপিডিয়া

শূন্য

সংখ্যা
(๐ৰ পৰা পুনঃনিৰ্দেশিত)


শূন্য বা ০ (zero; pron.: /ˈziːroʊ/ zeer-oh এটা অংক যিটো হিচাপ নিকাচৰ ক্ষেত্ৰত সকলো স্থানীয় মান পদ্ধতিৰ এক অপৰিহাৰ্য প্ৰতীক।[1] ইয়াৰ বাহিৰে ই এটা সংখ্যাও। দুয়োটা ৰূপতে গণিতত ইয়াৰ অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ ভূমিকা আছে। শূন্য এটা সংস্কৃত শব্দ। ই গণিতত এক কেন্দ্ৰীয় ভূমিকা পালন কৰি গোটা সংখ্যা, বাস্তৱ সংখ্যা আৰু বিভিন্ন বীজগণিতীয় গঠনৰ যোগাত্মক অভেদ হিচাপে কাম কৰে। এককভাৱে শূন্যই অস্তিত্বহীনতা বুজাই আৰু অংক হিচাপে ই সংখ্যাৰ মান নিৰূপণ কৰে।

←−১ ০ ১→
অংকবাচক zero
পূৰণবাচক ০
(zeroth)
Latin prefix nulli-
বাইনেৰি 02
Ternary 03
Quaternary 04
Quinary 05
Senary 06
Octal 08
Duodecimal 012
Hexadecimal 016
Vigesimal 020
Base 36 036
আৰবী, কুৰ্দিচ, ফাৰ্ছি, সিন্ধি , উৰ্দু ٠
হিন্দু সংখ্যা ०
চীনা 零, 〇
বাৰ্মিজ ၀
খেমাৰ ០
থাই ๐
অসমীয়া, বঙালী ০
মায়া সংখ্যা 𝋠
মোৰ্চ কোড _ _ _ _ _

ভাৰতীয় গণিতজ্ঞসকলে পোন প্ৰথমবাৰৰ বাবে শূন্যক সংখ্যা হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰিছিল। নৱম শতিকাত পোন প্ৰথমবাৰৰ বাবে ব্যৱহাৰিক গণনাত শূন্যৰ ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল। ৪৯৮ খ্ৰীষ্টাব্দত ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ তথা জ্যোতিৰ্বিদ আৰ্যভট্টই উল্লেখ কৰিছিল-"স্থানাৎ স্থানম্ দসগুণম্ স্যাত।" অৰ্থাৎ কোনো সংখ্যাৰ প্ৰত্যেক অংকৰে মান তাৰ পিছৰ অংকটোৰ দহগুণ। ইয়াকে দশমিক ভিত্তিত স্থানমান নিৰ্ণয়ৰ পদ্ধতি অৰ্থাৎ দশমিক পদ্ধতিৰ আৰম্ভণি আখ্যা দিয়া হয়। শূন্যৰে সৈতে দশমিক পদ্ধতিৰ প্ৰাচীনতম লিখিত প্ৰয়োগ হিচাপে ৪৫৮ খ্ৰীষ্টাব্দত ৰচিত জৈন পুথি লোকবিভাগ উল্লেখনীয়। শূন্যৰ চিহ্ন হিচাপে এটি সৰু বৃত্তৰ প্ৰথম ব্যৱহাৰ দেখা যায় গোৱালিয়ৰৰ চতুৰ্ভুজ মন্দিৰত প্ৰাপ্ত ৮৭৬ খ্ৰীষ্টাব্দত লিপিবদ্ধ এখন শিলালিপিত। ব্ৰহ্মগুপ্তৰ "ব্ৰহ্মস্পুত সিদ্ধান্ত" নামৰ গ্ৰন্থখনত শূন্যৰ ব্যৱহাৰ সম্পৰ্কে তেওঁ কিছুমান নিয়ম আগবঢ়াইছে-

  • শূন্য আৰু এটা ঋণাত্মক সংখ্যাৰ যোগফল সদায় ঋণাত্মক।
  • শূন্য আৰু এটা ধনাত্মক সংখ্যাৰ যোগফল সদায় ধনাত্মক।
  • শূন্য আৰু শূন্যৰ যোগফল সদায় শূন্য।
  • এটা ধনাত্মক আৰু এটা ঋণাত্মক সংখ্যাৰ যোগফল সিহঁতৰ পাৰ্থক্যৰ সমান বা শূন্য যদিহে সিহঁত সমান।
  • শূন্যক যিকোনো সংখ্যাৰে হৰণ কৰিলে শূন্য পোৱা যায়।

ইয়াৰে শেষৰটো সিদ্ধান্ত আধুনিক সিদ্ধান্তৰ লগত নিমিলে। কাৰণ আধুনিক পদ্ধতিত শূন্য আৰু শূন্যৰ হৰণফল অনিৰ্ণেয় আৰু যিকোনো অশূন্য সংখ্যাক শূন্যৰে হৰণফল ঋণাত্মক বা ধনাত্মক অসীম বুলি ধৰা হয়।

ব্যুৎপত্তি

সম্পাদনা কৰক

শূন্যৰ ইংৰাজী zero শব্দটো ফৰাচী শব্দ zéroৰ জৰিয়তে ইটালীয় zero শব্দৰ পৰা আহিছিল। ইটালীয় শব্দটো আকৌ ইটালীয় ṣafira বা ṣifr শব্দৰ জৰিয়তে zefiro শব্দৰ পৰা সৃষ্টি হোৱা ভেনিচৰ zevero শব্দৰ সংকোচিত ৰূপ।[2] প্ৰাক-ইছলাম যুগত ṣifr (আৰবী: صفر) শব্দৰ অৰ্থ আছিল "খালী।"[3] Sifr অনুবাদৰ সময়ত ভাৰতৰ শূন্য (সংস্কৃত: शून्य) শব্দৰ বাবে Sifr শব্দটো zeroলৈ বিকশিত হয়।[3] শূন্যৰ প্ৰথম ইংৰাজী ব্যৱহাৰ ১৫৯৮ চনত হৈছিল।[4]

উত্তৰ আফ্ৰিকাত ডাঙৰ দীঘল হোৱা আৰু ইউৰোপলৈ দশমিক প্ৰণালী প্ৰৱৰ্তন কৰাৰ কৃতিত্ব লাভ কৰা ইটালীৰ গণিতজ্ঞ ফিবোনাচিয়ে (গ. ১১৭০ – গ. ১২৫০) জেফিৰাম (zephyrum) শব্দটো ব্যৱহাৰ কৰিছিল। ই ইটালিয়ান ভাষাত জেফিৰো (zefiro) হৈ পৰে, আৰু তাৰ পিছত ভেনিছিয়ানত জিৰোলৈ (zero) ৰূপান্তৰ হয়। ইটালীৰ জেফিৰো (zefiro) শব্দটো ইতিমধ্যে প্ৰচলিত আছিল (অৰ্থাৎ লেটিন আৰু গ্ৰীক জেফিৰাছৰ (Zephyrus) পৰা "পশ্চিম বতাহ") আৰু আৰবী ṣifr লিপিবদ্ধ কৰোঁতে বানানটো প্ৰভাৱিত হʼব পাৰে বুলি কিছুমান অধ্যয়নে প্ৰতিবেদন দিছে৷[5]

 
২য় শতিকাত শূন্য বুজাবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা প্ৰাচীন গ্ৰীক চিহ্ন (সোঁফালে তলৰ চুকত)

ইতিহাস

সম্পাদনা কৰক

প্ৰাচীন মিচৰীয় সংখ্যাবোৰৰ ভিত্তি ১০ আছিল।[6] ইজিপ্টোলজিষ্ট (এজন পণ্ডিত বা গৱেষক যি প্ৰাচীন ইজিপ্তৰ অধ্যয়নত বিশেষজ্ঞ) এলান গাৰ্ডিনাৰে পৰামৰ্শ দিছিল যে এনএফআৰ হাইৰোগ্লিফ শূন্যৰ প্ৰতীক হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল। সমাধি আৰু পিৰামিডৰ অংকনৰ আধাৰ স্তৰ সূচিত কৰিবলৈও একেটা চিহ্ন ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল।[7]

খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ২য় সহস্ৰাব্দৰ মাজভাগলৈকে বেবিলনৰ গণিতত সংখ্যা ব্যৱস্থাৰ ভিত্তি ৬০ আছিল। অৱস্থানগত মান (বা শূন্য)ৰ অভাৱত সংখ্যাৰ মাজত এটা খালি স্থানৰ দ্বাৰা শূন্যৰ সূচনা কৰা হৈছিল। বাগদাদৰ পৰা ৮০ কিলোমিটাৰ দক্ষিণে আৰু প্ৰাচীন বেবিলন চহৰৰ পৰা ১২ কিলোমিটাৰ (৭.৫ মাইল) পূবে অৱস্থিত কিছ নামৰ (ইৰাক)ৰ এটা গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰত্নতাত্ত্বিক স্থানত এক ফলি উদ্ধাৰ হৈছিল। কিছত উদ্ধাৰ হোৱা এই ফলিত (খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ৭০০ চনৰ পৰাই) লিখক বেল-বান-আপ্লুৱে একেটা বেবিলনীয় গণিতত সংখ্যা ব্যৱস্থাতে তিনিটা হুক শূন্যৰ সূচনা কৰা স্থানধাৰী হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰিছিল। খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ৩০০ত এটা বিৰাম চিহ্ন (দুটা হেলনীয়া কুণ্ডলী)ক স্থানধাৰী হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল।[8][9]

প্ৰাচীন গ্ৰীকসকলৰ শূন্যৰ বাবে কোনো চিহ্ন নাছিল (μηδέν, উচ্চাৰণ 'midén'), আৰু ইয়াৰ বাবে সংখ্যাৰ স্থানধাৰী ব্যৱহাৰ কৰা নাছিল।[10] গণিতজ্ঞ চাৰ্লছ চেইফৰ মতে, প্ৰাচীন গ্ৰীকসকলে খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ৫০০ চনৰ পিছত জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানৰ কামৰ বাবে স্থানধাৰী হিচাপে শূন্য গ্ৰহণ কৰিবলৈ আৰম্ভ কৰিছিল, ইয়াক ক্ষুদ্ৰ গ্ৰীক আখৰ ό (όμικρον: omicron) দ্বাৰা শূন্যক সূচিত কৰিছিল। কিন্তু জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানৰ গণনাৰ বাবে স্থানধাৰী শূন্য ব্যৱহাৰ কৰাৰ পিছত তেওঁলোকে সাধাৰণতে সংখ্যাবোৰক পুনৰ গ্ৰীক সংখ্যালৈ ৰূপান্তৰিত কৰিছিল। গ্ৰীকসকলে শূন্যক সংখ্যা হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰাৰ দাৰ্শনিক বিৰোধিতা কৰা যেন লাগিছিল বুলি কিছুমান অধ্যয়নে প্ৰতিবেদন দিয়ে।[11] গ্ৰীকসকলে শূন্যক সংখ্যা হিচাপে মৰ্যাদাৰ বিষয়ে নিশ্চিত নাছিল। যাৰ ফলত শূন্য আৰু শূন্যতাৰ প্ৰকৃতি আৰু অস্তিত্বৰ বিষয়ে দাৰ্শনিকসকলৰ মাজত মধ্যযুগলৈকে ধৰ্মীয় যুক্তিতৰ্কৰ সৃষ্টি হৈছিল। [12]

 
এয়া হৈছে চীনা ভাষাত প্ৰকাশিত শূন্যৰ চিত্ৰণ গণনা ৰড। শূন্য প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ এটা খালী স্থান ব্যৱহাৰ কৰা হয়।[13]

চীন দেশত, জিয়াহৌ য়াং চুয়ানজিং (৪২৫-৪৬৮ খৃষ্টাব্দ)ত উল্লেখ কৰা অনুসৰি, এটা সংখ্যাক ১০, ১০০, ১০০০ বা ১০০০০ ৰে পূৰণ বা হৰণ কৰিবলৈ, গণনা বোৰ্ড এখনত থকা ৰড কেইডালমানেৰে ১, ২, ৩ বা ৪ স্থানলৈ আগলৈ বা পিছলৈ স্থানান্তৰ কৰি গণনা কৰা হৈছিল।[14] ৰডবোৰে এটা সংখ্যাৰ দশমিক উপস্থাপন দিছিল, য'ত এটা খালী ঠায়ে শূন্যক বুজাইছিল। [13][15] গণনা ৰড প্ৰণালী হৈছে এক স্থিতিগত স্বৰলিপি প্ৰণালী। [16][17] সেই সময়ত শূন্যক সংখ্যা হিচাপে গণ্য কৰা হোৱা নাছিল, বৰঞ্চ "খালী পদ" হিচাপে গণ্য কৰা হৈছিল।[18]

ভাৰতত পিংগলা নামৰ (খ্ৰীষ্টপূৰ্ব প্ৰায় ৩ বা ২ শতিকা),[19] এজন সংস্কৃত গদ্য পণ্ডিতে, চুটি আৰু দীঘল শব্দাংশৰ বাইনাৰী ক্ৰম ব্যৱহাৰ কৰিছিল- য'ত এটা দীঘল শব্দাংশ দুটা চুটি শব্দাংশৰ সমান আছিল। স্বৰলিপিৰ এই প্ৰণালীটো মোৰ্চ কোডৰ দৰে আছিল। লক্ষণীয়ভাৱে, পিঙ্গলাই শূন্যৰ ধাৰণাটো প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ সংস্কৃত শব্দ śūnya স্পষ্টভাৱে ব্যৱহাৰ কৰিছিল।[19]

 
বাখশালি পাণ্ডুলিপি, য'ত "শূন্য" সংখ্যাটো ক'লা বিন্দুৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হৈছে। অৱশ্যে ইয়াৰ তাৰিখ অনিশ্চিত।[20]

বাখশালি পাণ্ডুলিপি, য'ত "শূন্য" সংখ্যাটো ক'লা বিন্দুৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হৈছে। অৱশ্যে ইয়াৰ তাৰিখ অনিশ্চিত।[21] শূন্যৰ বাবে এটা ডাঙৰ বিন্দু চিহ্ন, সমগ্ৰ বাখশালি পাণ্ডুলিপিখনতে ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে। এই পাণ্ডুলিপিখন আছিল ব্যৱসায়ীসকলৰ বাবে অংকৰ ব্যৱহাৰিক হাতপুথি।[22]

গণিত

সম্পাদনা কৰক

গণিতত শূন্যৰ ধাৰণাটোৱে একাধিক ভূমিকা পালন কৰে: অংক হিচাপে ই সংখ্যাসমূহক প্ৰতিনিধিত্ব কৰাৰ বাবে অৱস্থান সংকেতৰ এক গুৰুত্বপূৰ্ণ অংশ, আনহাতে ই বহুতো বীজগণিতীয় পৰিৱেশত নিজস্বভাৱে সংখ্যা হিচাপেও গুৰুত্বপূৰ্ণ ভূমিকা পালন কৰে।

অংক হিচাপে

সম্পাদনা কৰক

অৱস্থানগত সংখ্যা প্ৰণালীত (যেনে সংখ্যাসমূহক প্ৰতিনিধিত্ব কৰাৰ বাবে সাধাৰণ দশমিক পদ্ধতি), ০ অংকটোৱে এটা স্থানধাৰীৰ ভূমিকা পালন কৰে, যি সূচায় যে সংখ্যাটোৰ সেই স্থানত কোনো মানে অৰিহণা যোগাৱা নাই। উদাহৰণস্বৰূপে, দশমিক সংখ্যা ২০৫ হৈছে দুই শতক আৰু পাঁচ এককৰ যোগফল, য’ত ০ অংকটোৱে বুজায় যে সংখ্যাটোত কোনো দহক যোগ কৰা হোৱা নাই।

প্ৰাথমিক বীজগণিত

সম্পাদনা কৰক
 
এডাল সংখ্যাৰেখাত −৩ ৰ পৰা ৩ লৈ দেখুওৱা হৈছে, সংখ্যাৰেখাডালৰ মাজত ০ অৱস্থান কৰা দেখা গৈছে৷

০ সংখ্যাটো হৈছে আটাইতকৈ সৰু অঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, আৰু আটাইতকৈ ডাঙৰ অধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। ০ ৰ পিছৰ স্বাভাৱিক সংখ্যাটো ১ আৰু ০ ৰ আগত কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা নাথাকে। ০ সংখ্যাটোক স্বাভাৱিক সংখ্যা বুলি গণ্য কৰা হ'ব পাৰে বা নহ'বও পাৰে,[23][24] কিন্তু ই এটা অখণ্ড সংখ্যা, আৰু সেয়েহে এটা পৰিমেয় সংখ্যা আৰু এটা বাস্তৱ সংখ্যা।[25] শূন্যকে ধৰি সকলো পৰিমেয় সংখ্যাই বীজগণিতীয় সংখ্যা। যেতিয়া বাস্তৱ সংখ্যাবোৰক সম্প্ৰসাৰিত কৰি জটিল সংখ্যাবোৰ গঠন কৰা হয়, তেতিয়া ০ জটিল সমতলটোৰ উৎপত্তি হিচাপে গণ্য হয়।

০ নম্বৰটো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক নহয় বুলি গণ্য কৰিব পাৰি[26] বা, বৈকল্পিকভাৱে, ধনাত্মক আৰু ঋণাত্মক দুয়োটা[27] আৰু সাধাৰণতে সংখ্যা ৰেখাত কেন্দ্ৰীয় সংখ্যা হিচাপে প্ৰদৰ্শিত হয়। শূন্য হৈছে যুগ্ম সংখ্যা[28] (অৰ্থাৎ, ২ ৰ গুণিতক), আৰু ই অন্য যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা, পৰিমেয় বা বাস্তৱ সংখ্যাৰ এটা অখণ্ড গুণিতক। ই এটা মৌলিক সংখ্যা বা যৌগিক সংখ্যা নহয়: ই মৌলিক নহয় কিয়নো সংজ্ঞা অনুসৰি মৌলিক সংখ্যাবোৰ একতকৈ ডাঙৰ, আৰু ই যৌগিক নহয় কিয়নো ইয়াক দুটা সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ গুণিতক হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি।[29]

গণিতত শূন্যৰ অন্যান্য ব্যৱহাৰ

সম্পাদনা কৰক

আটাইতকৈ সৰু গণনা সংখ্যা হিচাপে ০ৰ ভূমিকাক বিভিন্ন ধৰণে সাধাৰণীকৰণ বা সম্প্ৰসাৰিত কৰিব পাৰি। সংহতি তত্ত্বত ০ হৈছে ৰিক্ত সংহতি যাক "{ }", "∅" বা "∅" হিচাপে চিহ্নিত কৰা হয়। ৰিক্ত সংহতি হৈছে কোনো উপাদান নথকা এটা সংহতি যাৰ ফল ০ হয়।

লগতে চাওক

সম্পাদনা কৰক


বাহ্যিক সংযোগ

সম্পাদনা কৰক
ৱিকিমিডিয়া কমন্সত 0 (number) সম্পৰ্কীয় মিডিয়া ফাইল আছে।
মুক্ত অভিধান ৱিক্সনেৰীত zero শব্দৰ অৰ্থ চাওক।
ৱিকিউদ্ধৃতিত Zero বিষয় সংক্ৰান্তত উদ্ধৃতি আছে।

গ্ৰন্থপঞ্জী

সম্পাদনা কৰক
  • Barrow, John D. (2001) The Book of Nothing, Vintage. ISBN 0-09-928845-1.
  • Diehl, Richard A. (2004) The Olmecs: America's First Civilization, Thames & Hudson, London.
  • Ifrah, Georges (2000) The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer, Wiley. ISBN 0-471-39340-1.
  • Kaplan, Robert (2000) The Nothing That Is: A Natural History of Zero, Oxford: Oxford University Press.
  • Seife, Charles (2000) Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin USA (Paper). ISBN 0-14-029647-6.
  • Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of the History of Mathematics. Berlin, Heidelberg, and New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64767-8.
  • Isaac Asimov (1978). Article "Nothing Counts" in Asimov on Numbers. Pocket Books.

তথ্যসূত্ৰ

সম্পাদনা কৰক
  1. ↑ Russel, Bertrand (1942). Principles of mathematics (2 সম্পাদনা). Forgotten Books. পৃষ্ঠা. 125. ISBN 1-440-05416-9. http://books.google.com/books?id=63ooitcP2osC. , Chapter 14, page 125
  2. ↑
  3. ↑ 3.0 3.1
    • Smithsonian Institution. Oriental Elements of Culture in the Occident, p. 518, গুগুল বুকচ্‌ত. Annual Report of the Board of Regents of the Smithsonian Institution; Harvard University Archives. "Sifr occurs in the meaning of "empty" even in the pre-Islamic time. ... Arabic sifr in the meaning of zero is a translation of the corresponding India sunya."
    • Gullberg, Jan (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers. W.W. Norton & Co.. ISBN 978-0-393-04002-9. "Zero derives from Hindu sunya – meaning void, emptiness – via Arabic sifr, Latin cephirum, Italian zevero." 
    • Logan, Robert (2010). The Poetry of Physics and the Physics of Poetry. World Scientific. ISBN 978-981-4295-92-5. "The idea of sunya and place numbers was transmitted to the Arabs who translated sunya or "leave a space" into their language as sifr." 
  4. ↑ "Zero". Merriam Webster online Dictionary. Archived from the original on 6 December 2017. 
  5. ↑ Ifrah 2000, পৃষ্ঠা 589.
  6. ↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (2000). "Egyptian numerals". University of St Andrewsmathshistory.st-andrews.ac.uk. http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Egyptian_numerals.html। আহৰণ কৰা হৈছে: 21 December 2019. 
  7. ↑ Lumpkin, Beatrice (2002). "Mathematics Used in Egyptian Construction and Bookkeeping". The Mathematical Intelligencer খণ্ড 24 (2): 20–25. doi:10.1007/BF03024613. 
  8. ↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (2000). "Zero" (en ভাষাত). University of St AndrewsMaths History. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero/। আহৰণ কৰা হৈছে: 2021-09-07. 
  9. ↑ "Babylonian mathematics". The Open University. 2016. https://www.open.edu/openlearn/ocw/mod/oucontent/view.php?printable=1&id=1976। আহৰণ কৰা হৈছে: 2021-09-07. 
  10. ↑ Wallin, Nils-Bertil (19 November 2002). "The History of Zero". The Whitney and Betty Macmillan Center for International and Area Studies at Yale.YaleGlobal online. http://yaleglobal.yale.edu/about/zero.jsp। আহৰণ কৰা হৈছে: 1 September 2016. 
  11. ↑ Seife, Charles (1 September 2000). Zero: The Biography of a Dangerous Idea. Penguin. পৃষ্ঠা. 39. ISBN 978-0-14-029647-1. OCLC 1005913932. https://books.google.com/books?id=obJ70nxVYFUC। আহৰণ কৰা হৈছে: 30 April 2022. 
  12. ↑ Huggett, Nick (2019). "Zeno's Paradoxes". In Zalta, Edward N. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2019 ed.). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Archived from the original on 10 January 2021. Retrieved 2020-08-09. 
  13. ↑ 13.0 13.1 Hodgkin, Luke (2005). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity. Oxford University Press. পৃষ্ঠা. 85. ISBN 978-0-19-152383-0. https://archive.org/details/historyofmathema0000hodg. 
  14. ↑ অ’ কন্নৰ, জন যে.; ৰবাৰ্টছন, এডমাণ্ট এফ (January 2004), "Chinese numerals", মেকটিউটৰ হিষ্ট্ৰী অৱ মেথমেটিকছ আৰ্কাইভ, ইউনিভাৰ্ছিটি অৱ ছেইণ্ট এনড্ৰিউছ, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Chinese_numerals.html .
  15. ↑ "Chinese numerals" (en ভাষাত). Maths History. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Chinese_numerals/। আহৰণ কৰা হৈছে: 2024-04-28. 
  16. ↑ Shen, Crossley & Lun 1999, পৃষ্ঠা 12: "the ancient Chinese system is a place notation system"
  17. ↑ Eberhard-Bréard, Andrea (2008), Selin, Helaine, ed. (en ভাষাত), Mathematics in China, প্ৰকাশক Dordrecht: Springer Netherlands, pp. 1371–1378, doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9453, ISBN 978-1-4020-4425-0 .
  18. ↑ Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony W.-C. (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. পৃষ্ঠা. 35. ISBN 978-0-19-853936-0. https://books.google.com/books?id=eiTJHRGTG6YC. "zero was regarded as a number in India ... whereas the Chinese employed a vacant position" 
  19. ↑ 19.0 19.1 Plofker, Kim (2009). Mathematics in India. Princeton University Press. পৃষ্ঠা. 54–56. ISBN 978-0-691-12067-6. "In the Chandah-sutra of Pingala, dating perhaps the third or second century BC, [ ...] Pingala's use of a zero symbol [śūnya] as a marker seems to be the first known explicit reference to zero. ... In the Chandah-sutra of Pingala, dating perhaps the third or second century BC, there are five questions concerning the possible meters for any value "n". [ ...] The answer is (2)7 = 128, as expected, but instead of seven doublings, the process (explained by the sutra) required only three doublings and two squarings – a handy time saver where "n" is large. Pingala's use of a zero symbol as a marker seems to be the first known explicit reference to zero." 
  20. ↑ Devlin, Hannah (13 September 2017). "Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol". The Guardian. ISSN 0261-3077. Archived from the original on 20 November 2017. Retrieved 14 September 2017.
  21. ↑ Devlin, Hannah (13 September 2017). "Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol". The Guardian. ISSN 0261-3077. Archived from the original on 20 November 2017. Retrieved 14 September 2017.
  22. ↑ Weiss, Ittay (20 September 2017). "Nothing matters: How India's invention of zero helped create modern mathematics". The Conversation. https://theconversation.com/nothing-matters-how-the-invention-of-zero-helped-create-modern-mathematics-84232. 
  23. ↑ Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). The historical roots of elementary mathematics. Courier Dover Publications. পৃষ্ঠা. 254–255. ISBN 978-0-486-13968-5. https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC। আহৰণ কৰা হৈছে: 5 January 2016. , Extract of pp. 254–255 Archived 10 May 2016 at the Wayback Machine
  24. ↑ Cheng 2017, পৃষ্ঠা. 32.
  25. ↑ Cheng 2017, পৃষ্ঠা. 41, 48–53.
  26. ↑ Weisstein, Eric W.. "Zero" (en ভাষাত). Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Zero.html। আহৰণ কৰা হৈছে: 4 April 2018. 
  27. ↑ Weil, André (2012-12-06) (en ভাষাত). Number Theory for Beginners. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-9957-8. https://books.google.com/books?id=NEHaBwAAQBAJ&pg=PA3। আহৰণ কৰা হৈছে: 6 April 2021. 
  28. ↑ Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd, in Penner, Robert C. (1999). Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures. World Scientific. পৃষ্ঠা. 34. ISBN 978-981-02-4088-2. https://archive.org/details/discretemathemat0000penn. 
  29. ↑ Reid, Constance (1992). From zero to infinity: what makes numbers interesting (4th ed.). Mathematical Association of America. p. 23. ISBN 978-0-88385-505-8. zero neither prime nor composite
"https://as.wikipedia.org/w/index.php?title=শূন্য&oldid=460668"ৰ পৰা অনা হৈছে